Question

已知AB为⊙O的直径，

AD

=

DC

，DE⊥AB于E，AC交DE于F．
（1）求证：AF=DF．
（2）若AB=10，AC=6，求AF长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,垂径定理,圆周角定理

专题：

分析：（1）连接BD，利用直角三角形求出∠ADE=∠ABD，再利用

AD

=

DC

，得出∠DAF=∠ABD，∠DAF=∠ADE，即可得出结论AF=DF．
（2）连接OD，可得OD⊥AC，由已知得出AM，OM的长，由△DEO≌△AMO得出OE的长，即可得到AE的长，由△AEF∽△AMO，利用比例式求出AF的长．

解答：（1）证明：如图1，连接BD，

∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
∴∠ADE+∠DAB=90°，∠DAE+∠ABD=90°，
∴∠ADE=∠ABD，
∵弧AD=弧DC，
∴∠DAF=∠ABD，
∵∠ABD=∠C，
∴∠DAF=∠ADE，
∴AF=DF；
（2）解：如图2，连接OD，交AC于点M，

∵

AD

=

DC

，
∴OD⊥AC，
∵AB=10，AC=6，
∴AM=3，OM=

AO2-AM2

=

52-32

=4，
在△DEO和△AMO中，

∠DEO=∠AMO ∠DOE=∠AOM OD=OE

，
∴△DEO≌△AMO（AAS）
∴OE=OM=4，
∴AE=5-4=1，
∵∠DEA=∠OMA=90°，
∴△AEF∽△AMO，
∴

AE

AM

=

AF

AO

，即

1

3

=

AF

5

，
∴AF=

5

3

．

点评：本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：在同圆中，等弧所对的圆周角相等，题目比较好，但是有一定的难度．