Question

13．如图．在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，AE平分∠BAD交BC于E．若AB=2，AE=2$\sqrt{2}$，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 由平行线的性质和已知条件得出∠D+∠C=180°，证出AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，由平行线的性质和已知条件得出∠BAE=∠AEB，证出BE=AB=2，由勾股定理的逆定理证出△ABE是直角三角形，∠B=90°，即可得出四边形ABCD是矩形．

解答 解：四边形ABCD是矩形；理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠B=∠D，
∴∠D+∠C=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB=2，
∵AB²+BE²=2²+2²=8=（2$\sqrt{2}$）²=AE²，
∴△ABE是直角三角形，∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形．

点评 本题考查了平行四边形的判定、平行线的性质、矩形的判定、勾股定理的逆定理；熟练掌握矩形的判定方法，由勾股定理的逆定理证出∠B=90°是解决问题的关键．