Question

11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，以点B为圆心，以1为半径作圆．设点P为圆B上一点．线段CP绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连接DA，PD，PB．
（1）若DP与圆O相切，则∠CPB的度数为45°或135°°；
（2）BD的最小值为1，此时tan∠CBP=1；
（3）BD的最大值为3，此时tan∠CBP=-1．

Answer 1

分析 （1）利用切线的性质结合等腰直角三角形得出即可；
（2）当B、D、A三点在同一条直线上时，BD有最小值，此时∠PBC=45°时，BD的最小值为1，此时tan∠CBP=1；
（3）同理可得：如图4，当B、D、A三点在同一条直线上时，BD的最大值为：AB+AD=AB+BP=3，此时tan∠CBP=tan135°=-1．

解答 解：（1）如图2，∵CP=CD，DP是⊙B的切线，∠PCD=90°，
∴∠BPD=90°，∠ADP=∠APD=45°，
∴∠CPB=45°+90°=135°，
同理可得：∠CPB=45°
故∠CPB=45°或135°；
故答案为：故∠CPB=45°或135°；

（2）如图3，当B、D、A三点在同一条直线上时，BD有最小值，
∵∠ACB=90°，∠DCP=90°，
∴∠ACD=∠BCP
在△ACD与△BCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCP}\\{CD=CP}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCP（SAS），
∴∠PBC=∠A=45°，
此时∠PBC=45°时，BD的最小值为1，此时tan∠CBP=1；

（3）同理可得：如图4，当B、D、A三点在同一条直线上时，
BD的最大值为：AB+AD=AB+BP=3，
此时tan∠CBP=tan135°=-1．
故答案为：1，1，3，-1．

点评 此题考查了圆的综合题，涉及的知识有全等三角形的判定与性质，分类思想的运用，最大值与最小值，注意分析问题要全面，以免漏解，有一定的难度．