Question

19．如图，正方形OEFG绕着边长为30的正方形ABCD的对角线的交点O旋转，边OE、OG分别交边AD、AB于点M、N．
（1）求证：OM=ON；
（2）设正方形OEFG的对角线OF与边AB相交于点P，连结PM．若PM=13，试求AM的长；
（3）连接MN，求△AMN周长的最小值，并指出此时线段MN与线段BD的关系．

Answer 1

分析 （1）首先判断出∠OAM=∠OBN，∠AOM=∠BON，然后根据全等三角形的判定方法，判断出△AOM≌△BON，即可判断出OM=ON．
（2）首先根据全等三角形的判定方法，判断出△POM≌△PON，PN=PM=5；然后根据△AOM≌△BON，判断出BN=AM；最后在Rt△AMP中，根据AM²+AP²=PM²，求出AM的长是多少即可．
（3）首先根据在Rt△AMN中，AM²+AN²=MN²，判断出当x=15时，即AM=15时，线段MN的长度最小，并求出此时MN、AN的值，求出△AMN周长的最小值是多少；然后判断出MN是△ABD的中位线，即可判断出MN∥BD，且MN=$\frac{1}{2}BD$．

解答 （1）证明：在正方形ABCD中，∠OAM=∠OBN=45°，OA=OB，
∵∠AOM+∠AON=∠EOG=90°，∠BON+∠AON=∠AOB=90°，
∴∠AOM=∠BON，
在△AOM和△BON中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAM=∠OBN}\\{OA=OB}\\{∠AOM=∠BON}\end{array}\right.$
∴△AOM≌△BON，
∴OM=ON．

（2）解：∵OF是正方形OEFG的对角线，
∴∠POM=∠PON，
在△POM和△PON中，
$\left\{\begin{array}{l}{OM=ON}\\{∠POM=∠PON}\\{OP=OP}\end{array}\right.$
∴△POM≌△PON，
∴PN=PM=13，
∵△AOM≌△BON，
∴BN=AM，
设AM=BN=x，
则AP=AB-BN-PN=30-x-13=17-x，
在Rt△AMP中，
AM²+AP²=PM²，
即x²+（17-x）²=13²，
解得x₁=5，x₂=12，
所以AM的长为5或12．

（3）设AM=BN=x，
则AN=AB-BN=30-x，
在Rt△AMN中，
AM²+AN²=MN²，
即MN²=x²+（30-x）²=2（x-15）²+450
∴当x=15时，即AM=15时，线段MN的长度最小，
此时MN=$\sqrt{450}=15\sqrt{2}$，
AN=30-x=30-15$\sqrt{2}$，
∴△AMN周长的最小值是30+15$\sqrt{2}$．
∵点M是AD的中点，点N是AB的中点，
∴MN是△ABD的中位线，
∴MN∥BD，且MN=$\frac{1}{2}BD$．

点评 （1）此题主要考查了几何变换综合题，以及线段的最大值、最小值的求解，考查了分析推理能力，要熟练掌握．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及三角形的中位线的性质和应用，要熟练掌握．