Question

20．如图，BE是⊙O的直径，A是BE延长线上一点，过A点作⊙O的一条切线，切点为D，过B点作BC⊥AD于C，交⊙O于点F，连接BD．
（1）求证：DF=DE；
（2）若tanA=$\frac{1}{2}$，DC=3，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由AC是⊙O的切线，得到OD⊥AC，再由平行线的性质和等腰三角形的性质推出结论．
（2）由tanA=$\frac{1}{2}$，设⊙O的半径为r，则AD=2r，由勾股定理得；AO=$\sqrt{5}$r，根据平行线分线段成比例得到比例式C$\frac{AD}{CD}=\frac{AO}{OB}$，即可得到结果．

解答 解：（1）连接OD，
∵AC是⊙O的切线，
∴OD⊥AC，
∵BC⊥AD，
∴OD∥BC，
∴∠1=∠BDO，
∵OB=OD，
∴∠2=∠BDO，
∴∠1=∠2，
∴$\widehat{DF}$=$\widehat{DE}$，
∴DF=DE；

（2）∵tanA=$\frac{1}{2}$，
∴设⊙O的半径为r，则AD=2r，
由勾股定理得；AO=$\sqrt{5}$r，
∵OD∥BC，
∴C$\frac{AD}{CD}=\frac{AO}{OB}$，
∴$\frac{2r}{3}=\frac{\sqrt{5}r}{r}$，
∴r=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．
∴⊙O的半径为：$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数，圆周角定理，连接OD是解题的关键．