Question

2．某环保器材公司销售一种新型产品，已知每件产品的进价为40元，经销过程中测出销售量y（万件）与销售单价x（元/件）存在如图所示的一次函数关系，每年销售该产品的总开支z（万元）（不含进价成本）与年销售y（万件）存在函数关系z=10y+42.5．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）试求出该公司销售该产品年获利w（万元）与销售单价x（元/件）的函数关系式（年获利=年销售总收入金额-年销售产品的总进价-年总开支金额）；当销售单价x为何值时，年获利最大？最大值是多少？
（3）若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元，请根据函数图象的性质确定x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法将点（70，5），（90，3）代入函数解析式求出即可；
（2）利用w=y（x-40）-z进而代入，再利用配方法求出函数最值即可；
（3）根据题意得出结合二次函数性质得出x的取值范围．

解答 解：（1）由题意，设y=kx+b，图象过点（70，5），（90，3）
$\left\{\begin{array}{l}{5=70k+b}\\{3=90k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{10}}\\{b=12}\end{array}\right.$，
故y与x之间的函数关系式为：y=-$\frac{1}{10}$x+12；

（2）由题意，得：
w=y（x-40）-z
=y（x-40）-（10y+42.5）
=（-$\frac{1}{10}$x+12）×（x-40）-10（-$\frac{1}{10}$x+12）-42.5
=-0.1x²+17x-642.5
=-$\frac{1}{10}$（x-85）²+80，
∴当x=85时，年获利最大值为80万元；

（3）由w=57.5得：-0.1x²+17x-642.5=57.5，
解得：x₁=70，x₂=100，
结合函数图象的性质可知：70≤x≤100．

点评 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及配方法求二次函数最值以及一元二次方程的解法等知识，利用二次函数的性质得出x的取值范围是解题关键．