Question

8．如图，甲乙两人在游泳池A处发现游泳池中的P处有人求救，甲立即跳入池中去救人，速度为1米/秒，乙以3.5米/秒的速度沿游泳池边跑到距A不远处的B处，捡起一个游泳圈再跳入池中去救人，甲游了20秒到达P处，两秒后乙到达P处．若∠PAB与∠PBC互余，且cos∠PBC=$\frac{3}{5}$，求乙的游泳速度．

Answer 1

分析 作PH⊥BC于H．在Rt△PBH中，由cos∠PBH=$\frac{BH}{PB}$=$\frac{3}{5}$，设BH=3k，PB=5k，则PH=4k，由△PBH∽△APH，推出$\frac{PH}{AH}$=$\frac{BH}{PH}$，可得AH=$\frac{16}{3}$k，AB=AH-BH=$\frac{16}{3}$k-3k=$\frac{7}{3}k$，在Rt△APH中，AP=20×1=20，利用勾股定理可得（4k）²+（$\frac{16}{3}$k）²=20²，求出k即可解决问题．

解答 解：作PH⊥BC于H．
在Rt△PBH中，∵cos∠PBH=$\frac{BH}{PB}$=$\frac{3}{5}$，设BH=3k，PB=5k，则PH=4k，
∵∠PAB+∠PBC=90°，∠PBC+∠BPH=90°，
∴∠BPH=∠PAH，∵∠PHB=∠PHA，
∴△PBH∽△APH，
∴$\frac{PH}{AH}$=$\frac{BH}{PH}$，
∴$\frac{4k}{AH}$=$\frac{3k}{4k}$，
∴AH=$\frac{16}{3}$k，
∴AB=AH-BH=$\frac{16}{3}$k-3k=$\frac{7}{3}k$，
在Rt△APH中，∵AP=20×1=20，
∴（4k）²+（$\frac{16}{3}$k）²=20²，
∴k=3，
∴AB=7，PB=15，
∴乙从A到B的运动时间=$\frac{7}{3.5}$=2s，从B到P的运动时间=22-2=20s，
∴乙的游泳速度为$\frac{15}{20}$=0.75米/秒．

点评 本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．