Question

在5×5的方格棋盘内的一个格中填入一个数-1，其余的格填1，每次操作是任取一个k×k的正方形（2≤k≤5），将其中的所有数都变号，问：-1填入哪一格才能通过适当的有限次操作，使棋盘中所有数都变为1？

Answer 1

考点：染色问题

专题：

分析：先根据题意得出含有偶数个黑色格，再根据黑格内各数的积不变，始终为-1，得出黑格中至少有一个为-1，不可能全都变为1，从而得出黑格都不能填-1，再将图形进行旋转90°，180°，270°，即可得出1填入哪一格才能通过适当的有限次操作；再把-1填入中心方格放，先取左上的3×3和右下的3×3正方形进行操作，或先取左下的2×2和右上的2×2正方形进行操作，最后取全部的5×5正方形进行操作即可得出答案．

解答：解：将5×5的棋盘按如图所示的若干个格染成黑色，对任何一个k×k（2≤k≤5）的正方形，必含有偶数个黑色格，
如果将最初的-1填入黑色格中，那么每次改变偶数个黑格的符号，从而黑格内各数的积不变，始终为-1，
从而黑格中至少有一个-1，不可能全都变为1，于是，所有黑格都不能填-1，
将上述图形进行旋转90°，180°，270°，得到另外的黑格集，-1也不能放如这些黑格中，这些黑格集包含了除中心外的所有方格，
故-1最多放在中心这一方格中．
当中心方格放-1时，先取左上的3×3正方形进行操作，再取右下的3×3正方形进行操作，又先取左下的2×2正方形进行操作，再取右上的2×2正方形进行操作，最后取全部的5×5正方形进行操作即可，使所有数都变为1．

点评：此题考查了染色问题，解题的关键是推断出-1所在的位置，并画出图形，主要考查了学生的想象能力，难度有点大，解题思路不是很容易想出，做题时要细心．