题目内容
20．如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．
分析 （1）根据待定系数法求得即可；
（2）设P（m，0），则E（m，-m2+2m+3），求得PE=-m2+2m+3，根据待定系数法求得直线BC的解析式，求得F的坐标，求得PF=-m+3，即可求得EF=-m2+3m，根据平行四边形的性质得-m2+3m=2，从而求得P点的坐标；
（3）先根据B、C的坐标求得BC的长，然后依据题意应用勾股定理即可求得M的纵坐标，进而求得M的坐标．
解答 
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-1，0）、B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）如图1，设P（m，0），
∵点E是抛物线上的点，
∴E（m，-m2+2m+3），
∴PE=-m2+2m+3，
把x=0代入y=-x2+2x+3得：y=3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴线BC的解析式为y=-x+3，
∵点F在直线BC上，
∴PF=-m+3
∴EF=PE-PF=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m，
若四边形ODEF是平行四边形，则EF=OD=2，
∴-m2+3m=2，
解得，m1=1，m2=2，
∴当四边形ODEF是平行四边形时，点P的坐标为（1，0）或（2，0）；
（3）存在；
理由：如图2，∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
∴对称轴x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵M在直线x=1上，
∴设M（1，n），
①当BM=BC=3$\sqrt{2}$，
∴（3-1）2+（0-n）2=（3$\sqrt{2}$）2，
∴n=$\sqrt{14}$，或n=-$\sqrt{14}$，
②当CM=BC=3$\sqrt{2}$，
∴12+（3-n）2=（3$\sqrt{2}$）2，
∴n=3+$\sqrt{17}$，或n=3-$\sqrt{17}$，
③当CM=BM时，
∴（3-1）2+（0-n）2=12+（3-n）2，
∴n=1．
综上，M点的坐标为（1，$\sqrt{14}$）或（1，-$\sqrt{14}$）或（1，3+$\sqrt{17}$）或（1，3-$\sqrt{17}$）或（1，1）．
点评 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式以及解析式的对称轴，勾股定理的应用以及等腰三角形的性质等，根据点的坐标依据函数的解析式求得相应点的坐标是本题的关键．
全能测控一本好卷系列答案
甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A、B两地间的路程为20km，他们前进的路程为s（km），甲出发后的时间为t（h），甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示，根据图象信息，下列说法正确个数为（ ）