Question

如图，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．

（1）如图1，试说明BE²+CF²=EF²；
（2）如图2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）延长ED至点G，使得EG=DE，连接FG，CG，易证EF=FG和△BDE≌△CDG，可得BE=CG，∠DCG=∠DBE，即可求得∠FCG=90°，根据勾股定理即可解题；
（2）连接AD，易证∠ADE=∠CDF，即可证明△ADE≌△CDF，可得AE=CF，BE=AF，S_{四边形AEDF}=

1

2

S_△ABC，再根据△DEF的面积=

1

2

S_△ABC-S_△AEF，即可解题．

解答：（1）证明：延长ED至点G，使得EG=DE，连接FG，CG，

∵DE=DG，DF⊥DE，
∴DF垂直平分DE，
∴EF=FG，
∵D是BC中点，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDG中，

BD=CD ∠BDE=∠CDG DE=DG

，
∴△BDE≌△CDG（SAS），
∴BE=CG，∠DCG=∠DBE，
∵∠ACB+∠DBE=90°，
∴∠ACB+∠DCG=90°，即∠FCG=90°，
∵CG²+CF²=FG²，
∴BE²+CF²=EF²；
（2）解：连接AD，

∵AB=AC，D是BC中点，
∴∠BAD=∠C=45°，AD=BD=CD，
∵∠ADE+∠ADF=90°，∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，

∠BAD=∠C AD=CD ∠ADE=∠CDF

，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，BE=AF，AB=AC=17，
∴S_{四边形AEDF}=

1

2

S_△ABC，
∴S_△AEF=

1

2

×5×12=30，
∴△DEF的面积=

1

2

S_△ABC-S_△AEF=

169

4

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BDE≌△CDG和△ADE≌△CDF是解题的关键．