Question

如图，已知二次函数y=a（x²-6x+8）（a＞0）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）将△OAC沿直线AC翻折，点O的对应点为O′．
①若O'落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；
②是否存在正整数a，使得点O′落在△ABC的内部？若存在，求出整数a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）令y=0，解关于x的方程即可得到点A、B的坐标；
（2）①设对称轴与x轴的交点为E，求出AE=1，再根据翻折变换的性质可得AO′=AO，然后利用∠O′AE的余弦值求出角的度数，再求出∠CAO=60°，然后利用∠CAO的正切值列式计算即可得解；
③过点A作AF⊥BC于F，根据垂线段最短可得AF＜AB，再根据翻折变换的性质可得AO′=AO=2，从而判断出点O′总落在△ABC的外部．

解答：解：（1）令y=0，则x²-6x+8=0，
解得x₁=2，x₂=4，
所以，A（2，0），B（4，0）；

（2）①如图，抛物线的对称轴为直线x=-

-6

2×1

=3，
设对称轴与x轴的交点为E，求出AE=1，
将△OAC沿直线AC翻折，点O的对应点O′落在对称轴x=3上，
∵A（2，0），
∴AO=2，
在Rt△O′AE中，cos∠O′AM=

AE

AO′

=

1

2

，
∴∠O′AM=60°，
∴∠CAO=

1

2

×（180°-∠O′AM）=

1

2

×（180°-60°）=60°，
∴tan∠CAO=

OC

OA

=

8a

2

=

3

，
解得a=

3

4

；

②过A点作AF⊥BC，F为垂足，
由垂线段最短可得AF＜AB=2，
由翻折的性质得，AO′=AO=2，
所以，不论a取何值，O点的对应点O′总落在△ABC的外部，
所以，这样的整数a不存在．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数与x轴的交点的求解，翻折变换的性质，锐角三角函数的定义，垂线段最短的性质，综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．