Question

已知关于x的一元二次方程mx²+4x+4-m=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线y=mx²+4x+4-m与x轴交点为A、B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．点O为坐标原点，点P在直线BC上，且OP=

1

2

BC，求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据根与判别式的关系即可求解；
（2）根据求根公式可得x₁=

-4+2(m-2)

2m

=

m-4

m

，x₂=

-4-2(m-2)

2m

=-1．再根据方程有两个互不相等的负整数根，得到m=1或2或3，再进行讨论得到m的值；
（3）根据待定系数法得到直线BC的解析式，设P（x₀，3x₀+3），根据勾股定理得到关于x₀的方程，求得x₀的值，再进一步即可求解．

解答：（1）证明：∵△=4²-4m（4-m）
=16-16m+4m²
=4（m-2）²≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵x=

-4± 4(m-2)2

2m

=

-4±2(m-2)

2m

，
∴x₁=

-4+2(m-2)

2m

=

m-4

m

，x₂=

-4-2(m-2)

2m

=-1．
∵方程有两个互不相等的负整数根，
∴

m-4

m

＜0．
∴

m＞0 m-4＜0

或

m＜0 m-4＞0

，
∴0＜m＜4．
∵m为整数，
∴m=1或2或3． 
当m=1时，x₁=

1-4

1

=-3≠x₂，符合题意；
当m=2时，x₁=

2-4

2

=-1=x₂，不符合题意；
当m=3时，x₁=

3-4

3

=-

1

3

≠x₂，但不是整数，不符合题意．
∴m=1．　
（3）解：m=1时，抛物线解析式为y=x²+4x+3．
令y=0，得x₁=-1，x₂=-3；
令x=0，得y=3．
∴A（-3，0），B（-1，0），C（0，3）．
∴BC=

12+32

=

10

．
∴OP=

1

2

BC=

10

2

．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴

b=3 -k+b=0

，
∴

b=3 k=3

．
∴直线BC的解析式为y=3x+3．
设P（x₀，3x₀+3），
由勾股定理有：x₀²+（3x₀+3）²=（

10

2

）²，
整理，得20x₀²+36x₀+13=0．
解得x₀=-

1

2

或x₀=-

13

10

．
∴P（-

1

2

，

3

2

）或P（-

13

10

，-

9

10

）．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：根与判别式的关系，求根公式，分类思想的运用，待定系数法求直线的解析式，勾股定理，综合性较强，有一定的难度．