Question

18．如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AC，△CDE沿直线BC翻折到△CDF，连结AF交BE、DE、DC分别于点G、H、I．
（1）求证：AF⊥BE；
（2）求证：AD=3DI．

Answer 1

分析 （1）根据翻折的性质和SAS证明△ABE与△ACF全等，利用全等三角形的性质得出∠AGB=90°证明即可；
（2）作IC的中点M，利用AAS证明△AEH与△FDH全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可．

解答 证明：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=BD=CD，∠ACB=45°，
∵在△ADC中，AD=DC，DE⊥AC，
∴AE=CE，
∵△CDE沿直线BC翻折到△CDF，
∴△CDE≌△CDF，
∴CF=CE，∠DCF=∠ACB=45°，
∴CF=AE，∠ACF=∠DCF+∠ACB=90°，
在△ABE与△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠ACF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠ABE=∠FAC，
∵∠BAG+∠CAF=90°，
∴∠BAG+∠ABE=90°，
∴∠AGB=90°，
∴AF⊥BE；
（2）作IC的中点M，连接EM，由（1）∠DEC=∠ECF=∠CFD=90°

∴四边形DECF是正方形，
∴EC∥DF，EC=DF，
∴∠EAH=∠HFD，AE=DF，
在△AEH与△FDH中$\left\{\begin{array}{l}{∠AHE=∠DHF}\\{∠EAH=∠HFD}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△FDH（AAS），
∴EH=DH，
∵∠BAG+∠CAF=90°，
∴∠BAG+∠ABE=90°，
∴∠AGB=90°，
∴AF⊥BE，
∵M是IC的中点，E是AC的中点，
∴EM∥AI，
∴$\frac{DI}{TM}=\frac{DH}{HE}=1$，
∴DI=IM，
∴CD=DI+IM+MC=3DI，
∴AD=3DI．

点评 此题考查翻折问题，关键是利用SAS和AAS证明三角形全等，再利用全等三角形的性质进行分析解答．