Question

13．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE与AD相交于点E．
（1）求证：△EDF≌△ABF；
（2）∠ABF=30°，AB=2$\sqrt{3}$，求△BDF的面积．

Answer 1

分析 （1）因为四边形ABCD是矩形，折叠前后∠E=∠C=90°，ED=CD=AB，所以根据AAS可证；
（2）要想求出△BDF的面积，根据题中条件，只要求出△AFB或者△FDE面积后，利用求差的办法即可求得△BDF的面积．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD，
由折叠可得，∠E=∠C=90°，ED=CD，
在△ABF和△EDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠EFD}\\{∠A=∠E}\\{AB=ED}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△EDF（AAS）；
（2）在Rt△ABF中，∠A=90°，∠ABF=30°，
∴AF=$\frac{1}{2}$BF，
∵AB=2$\sqrt{3}$，
由勾股定理得，BF²-（$\frac{1}{2}$BF）²=（2$\sqrt{3}$）²，
∴BF=4，
∴DF=4，
∴S_△BDF=$\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．

点评 本题综合考查图形的折叠问题，勾股定理的应用以及三角形面积求法，折叠问题注意图形折叠前后对应边相等，对应角相等，此题难度不大．