已知抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c与x轴交于A.B两点.A点位于y轴左侧.B点位于A点右侧.且OA=2.与y轴相交于点C.OC=4.点P为抛物线上的任意一点.且在线段BC的上方．(1)求抛物线的解析式.并画出图形,(2)试求当P点运动到什么位置时.△PBC的面积最大并求其最大值,(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q.使得AQ=CQ?若存在.求出符合条件的Q点坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．已知抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于A，B两点，A点位于y轴左侧，B点位于A点右侧，且OA=2，与y轴相交于点C，OC=4，点P为抛物线上的任意一点，且在线段BC的上方．
（1）求抛物线的解析式，并画出图形；
（2）试求当P点运动到什么位置时，△PBC的面积最大并求其最大值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得AQ=CQ？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）由题意可知A（-2，0）、C（4，0）或（-4，0），设B（m，0），当C（-4，0）时，c=-4，令y=0得到关于x的方程，依据一元二次方程根与系数的关系可求得m=-4不和题意；当当C（4，0）时，求得m=4则，点B（4，0）则抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+2）（x-4），然后依据点A、B、C的坐标可画出抛物线的大致图象；
（2）过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交BC与点E．先求得BC的解析式，设点P的坐标为（x，-$\frac{1}{2}$x²+x+4），则E（x，-x+4），依据△CBP的面积=$\frac{1}{2}$PE•OB可得到三角形的面积与x的函数关系式，最后利用配方法求解即可；
（3）依据抛物线的对称轴方程得到抛物线的对称轴为x=1，设点Q（1，y），然后依据两点间的距离公式列方程求解即可．

解答解：（1）∵A点位于y轴左侧，且OA=2，
∴A（-2，0）．
∵抛物线与y轴相交于点C，OC=4，
∴C（4，0）或（-4，0）．
设B（m，0）．
令y=0得：-$\frac{1}{2}$x²+bx+c=0，
当C（-4，0）时，c=-4，则-$\frac{1}{2}$x²+bx-4=0，
∴-2m=8，解得m=-4．
∵B点位于A点右侧，
∴m=-4（舍去）．
当当C（4，0）时，c=4，则-$\frac{1}{2}$x²+bx+4=0，
∴-2m=-8，解得m=4．
∴B（4，0）．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+2）（x-4），即y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4．
抛物线的大致图象如图所示：

（2）如图2所示：过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交BC与点E．

设BC的解析式为y=kx+4，将点B的坐标代入得：4k+4=0，解得k=-1，
∴BC的解析式为y=-x+4．
设点P的坐标为（x，-$\frac{1}{2}$x²+x+4），则E（x，-x+4）．
∴△CBP的面积=$\frac{1}{2}$PE•OB=$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$x²+2x）=-（x-2）²+4．
∴当x=2时，△CBP的面积有最大值，最大值为4．
把x=2代入抛物线的解析式得：y=4．
∴此时点P的坐标为（2，4）．

（3）抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=1．
设点Q（1，y）．
∵QA=QC，
∴由两点间的距离公式可知：$\sqrt{（1+2）^{2}+（y-0）^{2}}$=$\sqrt{（1-0）^{2}+（4-y）^{2}}$，两边同时平方得：9+y²=1+（4-y）²，整理得：8y=8，解得y=1，
∴Q（1，1）．