Question

8．如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线y=ax²+bx+c交y轴于A点，交x轴
于B、C两点（点B在点C的左侧）．已知A点坐标为（0，-5），BC=4，抛物线过点（2，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）记抛物线的顶点为M，求△ACM的面积；
（3）在抛物线上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点A的坐标可求得c的值，将（2，3）代入抛物线的解析式得到关于a、b的二元一次方程，设B（x₁，0），C（x₂，0），由题意可得到（x₁-x₂）²=16．结合一元二次方程根与系数的关系可得到关于a、b的另一个方程，将两个方程联立可求得a、b的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）记AM与x轴的交点坐标为D．先求得点M的坐标，从而可求得AM的解析式，然后再求得点D的坐标，最后依据S_△ACM=S_△CDA+S_△CDM求解即可；
（3）先求得AC的解析式，①当∠PCA=90°时，可求得PC的解析式，然后求得PC与抛物线的交点坐标即可；②当∠PAC=90°时，可求得PC的解析式然后求得PC与抛物线的交点坐标即可．

解答 解：（1）由点A的坐标为（0，-5）可知c=-5，
又∵抛物线经过点（2，3），
∴4a+2b-5=0①，
设B（x₁，0），C（x₂，0），则（x₁-x₂）²=16．即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=16．
∵x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{20}{a}$=16②．
将方程①与方程②联立，解得：a=-1，b=6．
∴抛物线的解析式为y=-x²+6x-5．
（2）如图1所示：记AM与x轴的交点坐标为D．

∵y=-x²+6x-5=-（x-3）²+4，
∴点M的坐标为（3，4）．
设直线AM的解析式为y=kx+b．
∵将A（0，-5）、M（3，4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{3k+b=4}\end{array}\right.$，解得：k=3，b=-5，
∴直线AM的解析式为y=3x-5．
∵令y=0得：3x-5=0．解得：x=$\frac{5}{3}$，
∴D（$\frac{5}{3}$，0）．
∵令抛物线的y=0得：-x²+6x-5=0，解得x₁=1，x₂=5，
∴C（5，0）．
∴S_△ACM=S_△CDA+S_△CDM=$\frac{1}{2}$×（5-$\frac{5}{3}$）×（4+5）=15．
（3）①当∠PCA=90°时，如图2所示：过点C作CP⊥AC，交抛物线与点P．

设AC的解析式为y=kx+b．
∵将点A、C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{5k+b=0}\end{array}\right.$，解得：k=1，b=-5，
∴直线AC的解析式为y=x-5．
设PC的解析式为y=k₁x+b1．
∵PC⊥AC，
∴k₁=-1．
∴直线PC的解析式为y=-x+b₁．
∵将C（5，0）代入得：-5+b=0，解得；b=5，
∴PC的解析式为y=-x+5．
∵将y=-x+5代入y=-x²+6x-5得：-x²+6x-5=-x+5，整理得：x²-7x+10=0，解得；x₁=2，x₂=5（舍去）．
∴点P的坐标为（2，3）
②当∠PAC=90°时，如图3所示：

∵AP⊥AC，A（0，-5）
∴AP的解析式为y=-x-5．
将y=-x-5代入y=-x²+6x-5得：-x²+6x-5=-x-5，整理得：x²-7x=0，解得；x₁=7，x₂=0（舍去）．
∴点P的坐标为（7，-12）．
综上所述点P的坐标为（2，3）或（7，12）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、一元二次方程根与系数的关系、相互垂直的两条直线的特点，依据相互垂直的两条直线的一次项系数乘积为-1，和PC经过的点的坐标求得直线PC的解析式是解题的关键．