Question

3．已知，一条抛物线的顶点为E（-1，4），且过点A（-3，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且-3＜m＜-1，过点D作DK⊥x轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求证：GH=HK；
（3）当△CGH是等腰三角形时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）²+4 （a≠0），将点A的坐标代入求得a的值即可求得抛物线的解析式；
（2）先求得直线AE、AC的解析式，由点D的横坐标为m，可求得KG、KH的长（用含m的式子），从而可证明GH=HK；
（3）可分为CG=CH，GH=GC，HG=HC三种情况，接下来依据两点间的距离公式列方程求解即可．

解答 （1）解：∵抛物线的顶点为E（-1，4），
∴设抛物线的解析式为y=a（x+1）²+4 （a≠0）．
又∵抛物线过点A（-3，0），
∴4a+4=0，解得：a=-1．
∴这条抛物线的解析式为y=-（x+1）²+4．
（2）设直线AE的解析式为y=kx+b．
∵将A（-3，0），E（-1，4），代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{-k+b=4}\end{array}\right.$，解得：k=2，b=6，
∴直线AE的解析式为y=2x+6．
设直线AC的解析式为y=k₁x+b₁．
∵将A（-3，0），C（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：k=1，b=3，
∴直线AC的解析式为y=x+3．
∵D的横坐标为m，DK⊥x轴
∴G（m，2m+6），H（m，m+3）．
∵K（m，0）
∴GH=m+3，HK=m+3．
∴GH=HK．
（3）由（2）可知：C（0，3），G（m，2m+6），H（m，m+3）
①若CG=CH，则$\sqrt{{m^2}+{{（2m+3）}^2}}$=$\sqrt{{m^2}+{m^2}}$，整理得：（2m+3）²=m²，解得开平方得：2m+3=±m解得m₁=-1，m₂=-3，
∵-3＜m＜-1，
∴m≠-1且m≠-3．
∴这种情况不存在．
②若GC=GH，则$\sqrt{{m^2}+{{（2m+3）}^2}}$=m+3，整理得：2m²+3m=0  解得m₁=0（舍去），${m_2}=-\frac{3}{2}$．
③若HC=HG，则$\sqrt{{m^2}+{m^2}}$=m+3，整理得：m²-6m-9=0，解得；m₁=3-3$\sqrt{2}$，m2=3+3$\sqrt{2}$（舍去）．
综上所述：当△CGH是等腰三角形时，m的值为$-\frac{3}{2}$或$3-3\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、等腰三角形的判定、两点间的距离公式的应用，依据两点间的距离公式列出关于m的方程是解题的关键．