Question

12．如图：若AB⊥BD，CD⊥BD，动点P在BD上且CP⊥AP，若AB=3，CD=2，BD=7．
（1）说明：△ABP∽△PDC；
（2）求出DP的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明△ABP∽△PDC，只要证明∠APB=∠C，∠B=∠D=90°即可．
（2）设DP=x，利用相似三角形的性质，列出方程即可解决问题．

解答 （1）证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，CP⊥AP，
∴∠D=∠B=∠CPA=90°，
∴∠C+∠CPD=90°，∠CPD+∠APB=90°，
∴∠C=∠APB，
∴△ABP∽△PDC．

（2）设DP=x，
∵△ABP∽△PDC，
∴$\frac{AB}{PD}$=$\frac{PB}{CD}$，
∴$\frac{3}{x}$=$\frac{7-x}{2}$，
解得x=1或6，
经检验x=1或6都是用方程的解．
∴DP=1或6．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、等角的余角相等等知识，解题的关键是熟练应用相似三角形的判定证明两个三角形相似，学会利用参数，把问题转化为方程去思考，属于中考常考题型．