Question

17．已知关于x的方程x²-（2k+1）x+4（k-$\frac{1}{2}$）=0
（1）求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的底边长为a=3，两腰的长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）根据方程各项的系数利用根的判别式即可得出△=（2k-3）²≥0，此题得证；
（2）根据等腰三角形的性质即可得出k的值，将其代入方程求出b、c的值，再根据三角形的周长公式即可得出结论．

解答 （1）证明：在方程x²-（2k+1）x+4（k-$\frac{1}{2}$）=0中，
△=[-（2k+1）]²-4×1×4（k-$\frac{1}{2}$）=（2k-3）²≥0，
∴不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）解：∵三角形为等腰三角形，
∴△=（2k-3）²=0，
∴k=$\frac{3}{2}$．
将k=$\frac{3}{2}$代入原方程中，得：x²-4x+4=0，
解得：b=c=2，
∴C_△ABC=A+B+C=7．

点评 本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，根据方程根的判别式的符号确定方程解得情况是解题的关键．