Question

4．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD=DE；
（2）请判断E，C两点是否在以D为圆心，DB为半径的圆上，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等弧对等弦即可证明．
（2）利用等弧所对的圆周角相等，可得∠BAD=∠CBD，再等量代换得出∠DBE=∠DEB，从而证明DB=DE=DC，所以E，C两点在以D为圆心，DB为半径的圆上．

解答 （1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴BD=CD．

（2）B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
理由：由（1）知：$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠BAD=∠CBD，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE，
∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠CBE=∠ABE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE．
由（1）知：BD=CD，
∴DB=DE=DC．
∴E，C两点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．

点评 本题主要考查等弧对等弦，及确定一个圆的条件，此类题是中考的常考题，需要同学们牢固掌握．