Question

4．如图，△ABC中，∠ACB=30°，CD⊥AB于D，E为CD上一点，使得∠CAE=30°，连接BE，求证：∠BED=3∠BCD．

Answer 1

分析 以AC为边向下作等边三角形△ACG，以BG为边向右作等边三角形△BGI，连接EB，EI，先证明△AGB≌△CGI，根据等腰三角形三线合一的性质得到AB=BG=IG=IC，EG=EC可以证明，∠BEG=∠IEG=∠CEI，再由∠BEG=∠IEG=∠CEI=60°-∠2和∠DEB=180°-3∠CEI得到证明．

解答 证明：如图以AC为边向下作等边三角形△ACG，以BG为边向右作等边三角形△BGI，连接EB，EI．
∵∠BGI=∠AGC=60°，
∴∠BGA=∠CGI，
在△ACG和△CGI中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=CG}\\{∠AGB=∠CGI}\\{BG=GI}\end{array}\right.$，
∴△AGB≌△CGI，
∴∠1=∠3，∵CA=CG，∠ACB=∠BCG=30°，
∴BC⊥AG，AO=OG，
∴BC垂直平分AG，
∴BA=BG，
∴AB=BG=GI=IC，
∵AG=AC，∠EAI=∠EAC=30°，
∴AE垂直平分GC，
∵IG=IC，
∴点I在CG的垂直平分线上，
∴A、E、I共线，
∴EG=EC，∠GEI=∠CEI，
∵∠1+∠DKA=90°，∠2+∠OKC=90°，∠DKA=∠OKC，
∴∠1=∠2=∠3，
∴∠ECI=∠BCG=30°，
∵∠EGC=∠ECG，∠IGC=∠ICG，
∴∠EGI=∠ECI=30°，
∵∠BGI=60°，
∴∠BGE=∠IGE=30°，
∵BG=GI，
∴GE垂直平分BI，
∴EB=EI，∠BEG=∠IEG=∠CEI，
∵∠CEI=∠EAC+∠ACE，
∴∠CEI+∠2=∠EAC+∠ACE+∠2=60°，
∴∠BEG=∠IEG=∠CEI=60°-∠2，
∵∠DEB=180°-3∠CEI=180°-3（60°-∠2）=3∠2，
即∠BED=3∠DCB．

点评 本题考查等边三角形的性质、线段垂直平分线的判定和性质，添加辅助线构造两个等边三角形是解决问题的关键．