Question

2．若关于x的方程x²+2kx+k²+2k-3=0有两个实数根x₁、x₂，则x₁（x₁+x₂）+x₂²的最小值为$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 由题意和根与系数的关系得出x₁+x₂=-2k，x₁•x₂=k²+2k-3，△=b²-4ac≥0，得出k的取值范围，然后根据二次函数的最小值计算即可得到结果．

解答 解：∵方程x²+2kx+k²+2k-3=0有两个实数根x₁、x₂，
则x₁+x₂=-2k，x₁•x₂=k²+2k-3，△=b²-4ac=4k²-4（k²+2k-3）≥0，
∴k≤$\frac{3}{2}$，
∵x₁（x₂+x₁）+x₂²
=（x₂+x₁）²-x₁x₂
=（-2k）²-（k²+2k-3）
=3k²-2k+3=3（k-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{8}{3}$，
∴当k=$\frac{1}{3}$时，有最小值$\frac{8}{3}$；
∵$\frac{1}{3}$＜$\frac{3}{2}$，
∴k=$\frac{1}{3}$成立，
∴最小值为$\frac{8}{3}$；
故答案为：$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了一元二次方程根与系数关系、根的判别式、二次函数的最值；由根与系数的关系得出关于k的二次函数是解决问题的关键．