Question

2．如图，BD为△ABC的角平分线，∠BAC=2∠C，GE⊥BD于F，交BC于E，探究线段AD、AG、EC间的数量关系．

Answer 1

分析 由BD为△ABC的角平分线，GE⊥BD，易得△BGF≌△BEF，可得BG=BE，在BC上截取BM=BA，易得△ADB≌△ADM，可得AB=MB，易得AG=EM，∠A=∠DMB=2∠C，∠C=∠DMC，所以DM=CM=AD，易得线段AD、AG、EC间的数量关系．

解答 解：∵BD为△ABC的角平分线，GE⊥BD，
在△BGF与△BEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GBF=∠MBF}\\{∠BF=BF}\\{∠BFG=∠BFM}\end{array}\right.$，
∴△BGF≌△BEF（ASA），
∴BG=BE，
在BC上截取BM=BA，
在△ADB与△ADM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=MB}\\{∠ABD=∠MBD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△ADM（SAS），
∴AB=MB，
∴AG=EM，
∴∠A=∠DMB=2∠C，
∴∠C=∠DMC，
∴DM=CM=AD，
∵CE=EM+MC，
∴CE=AG+AD．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，作出适当的辅助线，构建全等三角形是解答此题的关键．