Question

17．在锐角三角形ABC中，AF是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作△ABD和△ACE，使得AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，连接BE、DE、DC，DE与FA的延长线交于点G，下列结论：①BE=DC；②BE⊥DC；③AG是△ADE的中线；④∠DAG=∠ABC．其中正确的有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 ①由已知条件可证明△ADC≌△ABE，可得到CD=BE；
②设BE和AC交于点R，可知∠AEB=∠ACD，结合对顶角和三角形内角和定理，可得到∠ENC=90°；
③过D作DH⊥AF交AF的延长线于H，过E作EM⊥AG于M，根据余角的性质得到∠H=∠AFB，求得∠HDA=∠BAF，证得△AHD≌△ABF，根据全等三角形的性质得到DH=AF，同理EM=AF，等量代换得到DH=EM，根据全等三角形的性质的得到DG=EG，即可得到结论；
④根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 解：①∵△ABD和△ACE为等腰直角三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC，
∴∠DAC=∠EAB，
在△ADC和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠EAB}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD=BE；故①正确；
设BE交AC于点R，CD，BE交于N如图1，
由①可知∠AEB=∠ACD，且∠ARE=∠NRC，
∴∠AER+∠ARE=∠NCR+∠NRC，
∴∠EFC=∠EAR=90°，
∴BE⊥DC；故②正确；
③过D作DH⊥AF交AF的延长线于H，过E作EM⊥AG于M，
∵AF⊥BC，
∴∠AFB=90°，
∴∠H=∠AFB，
∵∠BAD=90°，
∴∠HDA=∠BAF，
在△AHD与△ABF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠H=∠AFB}\\{∠HDA=∠BAF}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△AHD≌△ABF，
∴DH=AF，
同理EM=AF，
∴DH=EM，
在△DHG与△EMG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠H=∠EMG}\\{∠DGH=∠EGM}\\{DH=EM}\end{array}\right.$，
∴△DHG≌△EMG，
∴DG=EG，
∴AG是△ADE的中线；故③正确；
④∵△AHD≌△ABF，
∴∠DAG=∠ABC，故④正确．
故选A．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形中线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．