Question

11．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（-1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x₁，x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1．下列结论：①4a-2b+c＜0；②2a-b＜0；③b＜1；④a＞-$\frac{1}{2}$；⑤（a+c）²＜b²中正确的有①②⑤（将你认为正确的结论番号都填出来）

Answer 1

分析 首先根据抛物线的开口方向可得到a＜0，抛物线交y轴于正半轴，则c＞0，而抛物线与x轴的交点中，-2＜x₁＜-1、0＜x₂＜1说明抛物线的对称轴在-1～0之间，即x=-$\frac{b}{2a}$＞-1，可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断．

解答 解：由图知：抛物线的开口向下，则a＜0；抛物线的对称轴x=-$\frac{b}{2a}$＞-1，且c＞0；
①由图可得：当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0，故①正确；
②已知x=-$\frac{b}{2a}$＞-1，且a＜0，所以2a-b＜0，故②正确；
③已知抛物线经过（-1，2），即a-b+c=2（1），由图知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0（2），
由（2）-（1）可得2b＜-2，
∴b＜-1，故③错误；
④已知抛物线经过（-1，2），即a-b+c=2（1），由图知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0（2），由①知：4a-2b+c＜0（3）；联立（1）（2），得：a+c＜1；联立（1）（3）得：2a-c＜-4；
故3a＜-3，即a＜-1；所以④错误；
⑤已知抛物线经过（-1，2），即a-b+c=2，
∴a+c=b+2，
∴（a+c）²=（2+b）²，
∵（2+b）²=4+4b+b²，
∵b＜-1
∴4+4b=4+4（1+b）＜0，
∴4+4b+b²＜b²，
∴（a+c）²＜b²，故⑤正确；
因此正确的结论是①②⑤．
故答案为①②⑤．

点评 本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握．二次函数y=ax²+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．