Question

20．如图，等腰直角△ABC腰长为a，现分别按图1、图2方式在△ABC内接一个正方形ADFE和正方形PMNQ．设正方形ADFE的面积为S₁，正方形PMNQ的面积为S₂，则S₁：S₂=9：8．

Answer 1

分析 由正方形的性质和面积公式得出S₁=（$\frac{1}{2}$a）²=$\frac{1}{4}$a²；由平行线分线段成比例定理得出PQ：BC=AP：AB=1：3，得出AP=AQ=$\frac{1}{3}$a，由等腰直角三角形的性质得出PQ=$\frac{\sqrt{2}}{3}$a，得出S₂=$\frac{2}{9}$a²，即可得出结果．

解答 解：根据题意得：S₁=（$\frac{1}{2}$a）²=$\frac{1}{4}$a²，
∵PQ∥BC，
∴PQ：BC=AP：AB=1：3，
∴AP=AQ=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{1}{3}$a，
∴PQ=$\sqrt{2}$AP=$\frac{\sqrt{2}}{3}$a，
∴S₂=（$\frac{\sqrt{2}}{3}$a）²=$\frac{2}{9}$a²，
∴S₁：S₂=$\frac{1}{4}$a²：$\frac{2}{9}$a²=9：8；
故答案为：9：8．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、正方形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，根据题意求出各个正方形的边长是解决问题的关键．