Question

4．探究：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于点E，若AE=10，求四边形ABCD的面积．
拓展：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD．AE⊥BC于点E，若AE=19，BC=10，CD=6，则四边形ABCD的面积为152．

Answer 1

分析 （1）过A作AF⊥BC，交CB的延长线于F，求出四边形AFCE是矩形，根据矩形的性质得出∠FAE=90°，求出∠DAE=∠BAF=90°-∠BAE，根据AAS得出△AFB≌△AED，根据全等得出AE=AF=10，S_△AFB=S_△AED，求出S_{正方形AFCE}=100，求出S_{四边形ABCD}=S_{正方形AFCE}，代入求出即可；
（2）过A作AF⊥CD，交CD的延长线于F，求出∠BAE=∠FAD，根据AAS推出△AEB≌△AFD，根据全等得出AE=AF=19，BE=DF，设BE=DF=x，由勾股定理得出AC²=AE²+CE²=AF²+CF²，推出10-x=6+x，求出x，求出S_{正方形AFCE}=152和S_{四边形ABCD}=S_{正方形AFCE}，代入求出即可．

解答 解：（1）如图1，过A作AF⊥BC，交CB的延长线于F，
∵AE⊥CD，∠C=90°
∴∠AED=∠F=∠C=90°，
∴四边形AFCE是矩形，
∴∠FAE=90°，
∵∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠BAF=90°-∠BAE，
在△AFB和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠AED}\\{∠FAB=∠DAE}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△AFB≌△AED（AAS），
∴AE=AF=10，S_△AFB=S_△AED，
∵四边形AFCE是矩形，
∴四边形AFCE是正方形，
∴S_{正方形AFCE}=10×10=100，
∴S_{四边形ABCD}
=S_{四边形ABCE}+S_△AED
=S_{四边形ABCE}+S_△AFB
=S_{正方形AFCE}
=100；

（2）如图2，过A作AF⊥CD，交CD的延长线于F，
∵AE⊥CD，
∴∠AED=∠F=90°，
∴∠FAE+∠BCD=180°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠EAF，
∴∠BAD-∠EAD=∠EAF-∠EAD，
∴∠BAE=∠FAD，
在△AEB和△AFD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠DAF}\\{∠AEB=∠F}\\{AB=AD}\end{array}\right.$
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AE=AF=19，BE=DF，
设BE=DF=x，
∵BC=10，CD=6，
∴CE=10-x，CF=6+x，
由勾股定理得；AC²=AE²+CE²=AF²+CF²，
∵AE=AF，
∴CE=CF，
即10-x=6+x，
解得：x=2，
∴CE=CF=8，
∵△AEB≌△AFD
∴S_△AEB=S_△AFD，
∴S_{正方形AFCE}=$\frac{1}{2}$×8×19+$\frac{1}{2}$×8×19=152
∴S_{四边形ABCD}
=S_△AEB+S_{四边形AECD}
=S_△AFD+S_{四边形AECD}
=S_{正方形AFCE}
=152．
故答案为：152．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键．