Question

20．如图，点A、B在⊙O上，且AO=2，∠AOB=120°，则阴影部分面积为$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理得到AC=BC；而∠AOB=120°，OA=OB，根据等腰三角形的性质得∠A=30°；在Rt△OAC中，OA=2，∠A=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到OC和AC，则可求出AB，最后根据扇形的面积公式和三角形的面积公式利用S_阴影部分=S_扇形OAB-S_△OAB进行计算即可．

解答 解：过O作OC⊥AB于C，如图，
∴AC=BC，
而∠AOB=120°，OA=OB，
∴∠A=$\frac{1}{2}$（180°-120°）=30°，
在Rt△OAC中，OA=2，∠A=30°，
∴OC=1，AC=$\sqrt{3}$，
∴AB=2$\sqrt{3}$，
∴S_阴影部分=S_扇形OAB-S_△OAB
=$\frac{120•π•{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$•1•2$\sqrt{3}$
=$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$．
故答案为$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了扇形的面积公式：S=$\frac{nπ{R}^{2}}{360}$；也考查了垂径定理和等腰三角形的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．