Question

20．如图，直线y=$\frac{1}{2}$x+2交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰好落在直线y=$\frac{1}{2}$x+2上．则S_△M0N=（　　）

• A． $\frac{12}{5}$
• B． $\frac{14}{5}$
• C． $\frac{16}{5}$
• D． 4

Answer 1

分析 过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，设N的坐标是（x，$\frac{1}{2}$x+2），利用已知条件和勾股定理以及三角形的面积公式、45°角的锐角三角函数值求出ON的长，即可得到△MON的面积．

解答 解：过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，
∵N在直线y=$\frac{1}{2}$x+2上，
∴设N的坐标是（x，$\frac{1}{2}$x+2），
则DN=$\frac{1}{2}$x+2，OD=-x，
∵y=$\frac{1}{2}$x+2，
∴当x=0时，y=2，
∴A（-4，0），B（0，2），
即OA=4，OB=2，
在△AOB中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵在△AOB中，由三角形的面积公式得：AO×OB=AB×OC，
∴2×4=2$\sqrt{5}$OC，
∴OC=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵在Rt△NOM中，OM=ON，∠MON=90°，
∴∠MNO=45°，
∴sin45°=$\frac{OC}{ON}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴ON=$\frac{8\sqrt{10}}{10}$，
∴S_△MON=$\frac{1}{2}$×$\frac{8\sqrt{10}}{10}$×$\frac{8\sqrt{10}}{10}$=$\frac{16}{5}$．
故选C．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，解直角三角形等知识点的运用，主要考查学生运用这些性质进行计算的能力，题目比较典型，综合性比较强．