Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，圆心在AB上，以AD为弦的⊙O交AB于点E．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD=2$\sqrt{3}$，∠B=30°，求阴影部分面积．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；
（2）根据含有30°角的直角三角形的性质得出OB=2OD=2r，AB=2AC=3r，从而求得半径r的值；根据S_阴影=S_△BOD-S_扇形DOE求得即可．

解答 （1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
∴OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴BC是⊙O切线；

（2）设OA=OD=r，在Rt△BDO中，∠B=30°，
∴OB=2r，BD=$\sqrt{3}$r=2$\sqrt{3}$
解得r=2，
在Rt△ACB中，∠B=30°，
∴∠BOD=60°．
∴S_扇形ODE=$\frac{60π•{2}^{2}}{360}$=$\frac{2}{3}$π，
∴所求图形面积为：S_△BOD-S_扇形ODE=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

点评 本题考查了切线的判定，含有30°角的直角三角形的性质，扇形的面积等知识点的应用，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．