Question

18．已知：如图，正方形ABCD的边长为6，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°，连接MC，NC，MN．   
（1）求证：BM•DN=36；    
（2）求∠MCN的度数．

Answer 1

分析 （1）只要证明△ADN∽△MBA得$\frac{AD}{BM}$=$\frac{DN}{AB}$即可证明．
（2）先证明△CBM∽△NDC可以推出∠DCN+∠BCM=135°，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：∵BM，DN分别平分正方形的两个外角，
∴∠CDN=∠CBM=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC=CD，∠ADC=∠DCB=∠CBA=∠BAD=90°，
∴∠ADN=∠ABN=135°，
∵∠NAM=45°，
∠BAM+∠DAN=45°，∵∠BAM+∠AMB=45°，
∴∠DAN=∠AMB，
∴△ADN∽△MBA，
∴$\frac{AD}{BM}$=$\frac{DN}{AB}$，
∴BM•DN=AB•AD=36．
（2）∵BM•DN=BC•DC，
∴$\frac{BC}{DN}$=$\frac{BM}{DC}$，∵∠CBM=∠CDN，
∴△CBM∽△NDC，
∴∠DCN=∠BMC，
∵∠BCM+∠BMC=135°，
∴∠BCM+∠DCN=135°，
∴∠MCN=360°-∠BCD-∠BCM-∠DCN=135°．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．