Question

7．如图，是一个圆心角为90°的扇形，AO=2cm，点P在半径AO上运动，点Q在弧AB上运动，沿PQ将它以上的部分向下翻折，使翻折后的弧恰好过点O，则OP的最大距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 作O关于PQ的对称点O′，O′恰好落在⊙O上，于是得到OP=$\frac{\frac{1}{2}R}{cos∠POE}$，推出△OO′Q为等边三角形，根据等边三角形的性质得到OQ=O′Q=OO′=R，当cos∠POE最小时，∠POE最大，当∠QOB=0°时，∠POE=30°于是得到结论．

解答 解：作O关于PQ的对称点O′，O′恰好落在⊙O上，
∴OP=$\frac{\frac{1}{2}R}{cos∠POE}$，
∵△OO′Q为等边三角形，
∴OQ=O′Q=OO′=R，∠POE+∠QOB=30°，
当cos∠POE最小时，∠POE最大，
当∠QOB=0°时，∠POE=30°，
∴OP=$\frac{1}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的判定和性质，正确的在才辅助线是解题的关键．