Question

2．我们做如下的规定：如果一个三角形在运动变化时保持形状和大小不变，则把这样的三角形称为三角形板．把两块边长为4的等边三角形板ABC和DEF叠放在一起，使三角形板DEF的顶点D与三角形板ABC的AC边中点O重合，把三角形板ABC固定不动，让三角形板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点M，射线DF与线段BC相交于点N．

（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△ADM∽△CND．此时，AM•CN=4．
（2）将三角形板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问AM•CN的值是否改变？说明你的理由．
（3）在（2）的条件下，设AM=x，两块三角形板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2，图3供解题用）

Answer 1

分析 （1）可通过证△ADM∽△CND来求解．
（2）不会改变，关键是还是证△ADM∽△CND，已知一组60°角，关键是证（1）中的∠ADM=∠CND，由于图2由图1旋转而得，根据旋转的性质可设旋转角为α，则∠DNC=∠DBN+∠BDN=30°+α，∠ADM=30°+α，因此两角相等．由此可证得两三角形相似．因此结论不变．
（3）本题分类两种情况进行讨论：①当0°＜α＜60°时；②当60°≤α＜90°时．

解答 解：（1）∵∠A=∠C=∠D=60°，
∴∠ADM+∠CDN=120°，∠ADM+∠AMD=120°，
∴∠CDN=∠AMD，
∴△ADM∽△CND，
∴$\frac{AD}{CN}=\frac{AM}{CD}$，
∴AM•CN=AD•CD，
∵顶点D与三角形板ABC的AC边中点O重合，
∴AD=CD=2，
∴AM•CN=AD•CD=2×2=4，
故答案为：4；

（2）AM•CN的值不会改变．
在△ADM与△CND中，
∵∠A=∠C=60°，∠DNC=∠DBN+∠BDN=30°+α，∠ADM=30°+α，
∴∠ADM=∠CND，
∴△ADM∽△CND
∴$\frac{AD}{CN}=\frac{AM}{CD}$，
∴AM•CN=AD•CD=2×2=4，
∴AM•CN的值不会改变；

（3）情形1，当0°＜α＜60°时，1＜AM＜4，即1＜x＜4，此时两三角形板重叠部分为四边形DMBN，
如图2，过D作DQ⊥AB于Q，DG⊥BC于G，
∴DQ=QG=$\sqrt{3}$，
由（2）知，AM•CN=4，得CN=$\frac{4}{x}$，
于是y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²-$\frac{1}{2}$AM•DQ$-\frac{1}{2}CN•DQ$=4$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x$-\frac{2\sqrt{3}}{x}$（1＜x＜4）；
情形2，当60°≤α＜90°时，AM≥4时，即x≥4，此时两三角形板重叠部分为△DPN，
如图3，过点D作DH∥BC交AM于H，易证△MBP∽△MHD，
∴$\frac{BP}{DH}$=$\frac{MB}{MH}$，
又∵MB=x-4，MH=x-2，DH=2
∴BP=$\frac{2x-8}{x-2}$，
∴PN=4-$\frac{4}{x}$-$\frac{2x-8}{x-2}$，
于是y=$\frac{1}{2}$PN•DG=$\frac{1}{2}$$•\sqrt{3}$•（4-$\frac{4}{x}$$-\frac{2x-8}{x-2}$）=$\frac{\sqrt{3}x}{x-2}$-$\frac{2\sqrt{3}}{x}$，
综上所述，1＜x＜4时，y=4$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x$-\frac{2\sqrt{3}}{x}$；x≥4时，y=$\frac{\sqrt{3}x}{x-2}$-$\frac{2\sqrt{3}}{x}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及二次函数等知识的综合应用，分类讨论，综合运用各性质定理是解答此题的关键．