Question

11．已知：如图，直线AB经过⊙O上的点C，OA与⊙O 交于点D，若OA=OB，AD=CD，∠A=30°
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若AB=4$\sqrt{3}$，求OA的长．

Answer 1

分析 （1）利用已知结合等腰三角形的性质得出∠A以及∠AOC的度数，进而得出∠OCA的度数求出即可；
（2）利用已知得出BC以及AC的值进而求出AC的长．

解答 （1）证明：连接OC．
∵AD=CD，∠A=30°，
∴∠A=∠ACD=30°，
∴∠ODC=∠A+∠ACD=60°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=60°，
∴∠OCA=∠OCD+∠ACD=90°，
∴直线AB为⊙O的切线；

（2）解：∵OA=OB，OC⊥AB，AB=4$\sqrt{3}$，
∴BC=AC=2$\sqrt{3}$，
∵∠A=30°，
∴OA=2OC，
∵在Rt△ACO中，OA²=OC²+AC²，
∴AC=4．

点评 此题主要考查了切线的判定和勾股定理以及等腰三角形的性质，得出∠AOC的度数是解题关键．