Question

18．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②a+b+c＞0；③4a+2b+c＜0；④b＜a+c；⑤b²-4ac＞0，其中正确的结论有②⑤．（只填序号）

Answer 1

分析 ①：首先根据抛物线开口向下，可得a＜0，然后根据对称轴在y轴的右边，可得b＞0，最后根据抛物线与y轴的交点在x轴的上方，可得c＞0，所以abc＜0．
②：根据二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象，可得当x=1时，y=a+b+c＞0．
③：根据二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象，可得当x=2时，y=4a+2b+c＞0，据此判断即可．
④：根据二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象，可得当x=-1时，y=a-b+c＜0，所以b＞a+c，据此判断即可．
⑤：根据二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，可得△＞0，所以b²-4ac＞0，据此判断即可．

解答 解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵-$\frac{b}{2a}$＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
∴结论①不正确；

∵当x=1时，y=a+b+c＞0，
∴结论②正确；

∵抛物线的对称轴是x=1，抛物线与x轴的一个交点满足：-1＜x₁＜0，
∴抛物线与x轴的另一个交点满足：2＜x₂＜3，
∴当x=2时，y=4a+2b+c＞0，
∴结论③不正确；

∵当x=-1时，y=a-b+c＜0，
∴b＞a+c，
∴结论④不正确；

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴b²-4ac＞0，
∴结论⑤正确．
∴正确的结论有2个：②⑤．
故答案为：②⑤．

点评 此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．