Question

6．已知如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC，AD=CD，DE⊥CD交AB于E．
（1）求证：△ADE是等腰三角形．
（2）若BE+BC=4，求四边形BCDE的面积．

Answer 1

分析 （1）连接AC，根据等腰三角形的性质得出∠DAC=∠DCA，∠BAC=∠BCA，即可得出∠DAB=∠BCD，根据四边形内角和定理得到∠DEB+∠BCD=180°，进而可得出∠AED=∠BCD，即可得出∠DAB=∠AED，根据等腰三角形的判定即可证得结论，
（2）连接CE，根据BE+BC=4，得出（BE+BC）²=16，进一步得出BE²+BC²+2BE•BC=16，然后根据勾股定理和三角形面积公式即可得到4×$\frac{1}{2}$CD²+4×$\frac{1}{2}$BE•BC=16，即可证得S_△DCE+S_△BEC=4，即四边形BCDE的面积=4．

解答 （1）证明：连接AC，
∵AB=BC，AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，∠BAC=∠BCA，
∴∠DAC+∠BAC=∠DCA+∠BCA，
即∠DAB=∠BCD，
∵∠ABC=90°，DE⊥CD，
∴∠DEB+∠BCD=180°，
∵∠AED+∠DEB=180°，
∴∠AED=∠BCD，
∴∠DAB=∠AED，
∴AD=ED，
∴△ADE是等腰三角形；
（2）解：连接CE，
∵BE+BC=4，
∴（BE+BC）²=16，
∴BE²+BC²+2BE•BC=16，
∵BE²+BC²=CE²=CD²+DE²，
∵CD=DE，
∴CE²=2CD²，
∴CE²=4×$\frac{1}{2}$CD²，
∴4×$\frac{1}{2}$CD²+4×$\frac{1}{2}$BE•BC=16，
∴4S_△DCE+4S_△BEC=16，
∴S_△DCE+S_△BEC=4，
即四边形BCDE的面积=4．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质，四边形内角和定理，勾股定理的应用以及三角形面积等，证得∠DAB=∠BCD是解题的关键．