Question

18．如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在AC上，G为BC的中点，BE=CD，∠BEC=∠CDB，BD与CE相交于点F，GM⊥BF，GN⊥CF，垂足分别为M，N．
（1）请说出图中共有几个等腰三角形，并逐一予以证明．
（2）求证：GM=GN．

Answer 1

分析 （1）结论：△ABC、△FBC是等腰三角形，由△EFB≌△DFC得FB=FC，∠EBF=∠DCF，推出∠FBC=∠FCB，∠ABC=∠ACB由此即可解决问题．
（2）根据等腰三角形三线合一，以及角平分线性质定理即可解决．

解答 （1）答：△ABC、△FBC是等腰三角形．
证明：在△EFB和△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFB=∠DFC}\\{∠BEF=∠FDC}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△EFB≌△DFC，
∴EF=FD，BF=CF，∠EBF=∠DCF，
∴△FBC是等腰三角形，
∴∠FBC=∠FCB，
∴∠EBF+∠FBC=∠DCF+∠FCB，
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
（2）证明：∵FB=FC，BG=GC，
∴∠BFG=∠CFG，
∵GM⊥FB，GN⊥FC，
∴GM=GN．

点评 本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，正确寻找全等三角形是解题的关键，注意等腰三角形的性质三线合一的应用，属于中考常考题型．