Question

7．正方形ABCD，正方形CEFG如图放置，点B、C、E在同一条直线上，点P在BC边上，PA=PF，且∠APF=90°，连接AF交CD于点M．有下列结论：①EC=BP；②AP=AM：③∠BAP=∠GFP；④AB²+CE²=$\frac{1}{2}$AF²；⑤S_{正方形ABCD}+S_{正方形CGFE}=2S_△APF，其中正确的是（　　）

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ①②④⑤
• D． ①③④⑤

Answer 1

分析 ①由同角的余角相等可证出△EPF≌△BAP，由此即可得出EF=BP，再根据正方形的性质即可得出①成立；②没有满足证明AP=AM的条件；③根据平行线的性质可得出∠GFP=∠EPF，再由∠EPF=∠BAP即可得出③成立；④在Rt△ABP中，利用勾股定理即可得出④成立；⑤结合④即可得出⑤成立．综上即可得出结论．

解答 解：①∵∠EPF+∠APB=90°，∠APB+∠BAP=90°，
∴∠EPF=∠BAP．
在△EPF和△BAP中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠EPF=∠BAP}\\{∠FEP=∠PBA}\\{PA=PF}\end{array}\right.$，
∴△EPF≌△BAP（AAS），
∴EF=BP，
∵四边形CEFG为正方形，
∴EC=EF=BP，即①成立；
②无法证出AP=AM；
③∵FG∥EC，
∴∠GFP=∠EPF，
又∵∠EPF=∠BAP，
∴∠BAP=∠GFP，即③成立；
④由①可知EC=BP，
在Rt△ABP中，AB²+BP²=AP²，
∵PA=PF，且∠APF=90°，
∴△APF为等腰直角三角形，
∴AF²=AP²+EP²=2AP²，
∴AB²+BP²=AB²+CE²=AP²=$\frac{1}{2}$AF²，即④成立；
⑤由④可知：AB²+CE²=AP²，
∴S_{正方形ABCD}+S_{正方形CGFE}=2S_△APF，即⑤成立．
故成立的结论有①③④⑤．
故选D．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行线的性质以及勾股定理，解题的关键是逐条分析五条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过证明三角形全等以及利用勾股定理等来验证题中各结论是否成立是关键．