Question

5．在矩形ABCD中，E为线段BC上一点，点B关于AE的对称点为F，连接AF，G为BC延长线上一点，且DG=DA，射线EF交射线GD于点P．
（1）如图1，当点P在线段GD上时，求证：PF=CG+DP；
（2）如图2，当点P在线段GD的延长线上时，直接写出线段PF、CG、DP之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接AF，在射线FP上截取FM=CG，连接AM、DM，先证明△AFM≌△DCG，再证明PD=PM即可．
（2）结论：PF=CG-PD．如图2中，连接AF，在射线FP上截取FM=CG，连接AM、DM，先证明△AFM≌△DCG，再证明PD=PM即可．

解答 （1）证明：如图1中，连接AF，在射线FP上截取FM=CG，连接AM、DM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠BCD=∠DCG=90°，AD∥BC，
∵B、E关于AE对称，
∴AB=AF，∠B=∠AFE=∠AFM=90°，
∴∠AFM=∠DCG=90°，AF=DC，
在△AFM和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=DC}\\{∠AFM=∠DCG}\\{FM=CG}\end{array}\right.$，
∴△AFM≌△DCG，
∴∠DGC=∠AMF，AM=DG=AD，
∴∠ADM=∠AMD，
∵AD∥BG，
∴∠ADG+∠DGC=180°，
∵∠AMF+∠AMP=180°，
∴∠ADG=∠AMP，
∴∠PDM=∠PMD，
∴PD=PM，
∴PF=FM+PM=CG+PD．
（2）结论：PF=CG-PD．
证明：如图2中，连接AF，在射线FP上截取FM=CG，连接AM、DM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠BCD=∠DCG=90°，AD∥BC，
∵B、E关于AE对称，
∴AB=AF，∠B=∠AFE=∠AFM=90°，
∴∠AFM=∠DCG=90°，AF=DC，
在△AFM和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=DC}\\{∠AFM=∠DCG}\\{FM=CG}\end{array}\right.$，
∴△AFM≌△DCG，
∴∠DGC=∠AMF，AM=DG=AD，
∴∠ADM=∠AMD，
∵∠ADP+∠CDG=90°，∠CDG+∠CGD=90°，
∴∠ADP=∠DGC=∠AMP，
∴∠PDM=∠PMD，
∴PD=PM，
∴PF=FM-PM=CG-PD．

点评 本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，学会添加辅助线的方法截长补短法，属于中考常考题型．