Question

15．已知关于x的方程x²-（k+1）x-6=0．
（1）求证：无论k的取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一根为2，试求出k的值和另一根．

Answer 1

分析 （1）代入数据求出b²-4ac的值，由b²-4ac≥24可证出结论；
（2）将x=2代入到原方程中得到关于k的一元一次方程，解方程可得出k值，将k值代入到原方程，解方程即可得出方程的另外一根．

解答 （1）证明：∵b²-4ac=[-（k+1）]²-4×1×（-6）=（k+1）²+24≥24，
∴无论k的取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：将x=2代入方程x²-（k+1）x-6=0中，
2²-2（k+1）-6=0，即k+2=0，
解得：k=-2．
∴原方程=x²+x-6=（x-2）（x+3）=0，
解得：x₁=2，x₂=-3．
故k的值为-2，方程的另一根为-3．

点评 本题考查了根的判别式、解一元一次方程以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）计算出b²-4ac≥24；（2）代入x=2求出k值．问题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式的值来判断根的个数是关键．