Question

12．如图所示，P是反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N．
（1）求k的值；
（2）求证：矩形OMPN的面积为定值．

Answer 1

分析 （1）由反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上一点的坐标为（1，4），即可得到结论；
（2）根据反比例函数系数k的几何意义得到：矩形PAOB的面积为|k|．

解答 解：（1）如图，∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上一点的坐标为（1，4），
∴k=4×1=4；

（2）∵k=4，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{4}{x}$，
∵P是反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上任意一点，
PM⊥x轴，PN⊥y轴，
∴矩形OMPN的面积=|k|=4，
∴矩形OMPN的面积为定值

点评 本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．