Question

10．如图，△ABC中．△BAC=90°，以AB为直径作⊙O交BC于E，D为AC的中点，连结DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连BD交OE于F，若AB=10，OF=2，求tan∠BFO．

Answer 1

分析 （1）连接OD，证AD=DE，证△OAD≌△OED，∠OED=∠OAD=90°即可．
（2）连接AE，由OF=2，OE=5可求EF=3，设DO=2k，BE=3k，则BC=4k，EC=k，可求AC=2k，由勾股定理解得AD，得出DE，即可得出tan∠BFO．

解答 （1）证明：连接OD；如图1所示：
∵O、D分别是AB、AC的中点，
∴OD∥BC，
∴∠AOD=∠ABC，∠DOE=∠BEO；
∵OB=OE，
∴∠AOD=∠DOE，
在△OAD和△OED中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OE}&{\;}\\{∠AOD=∠DOE}&{\;}\\{OD=OD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OAD≌△OED（SAS），
∴∠OED=∠OAD=90°，DE=AD，
∴DE为⊙O的切线．
（2）解：连接AE，如图2所示：
∵OF=2，OE=5
∴EF=3；
∵OD∥BC，OD=$\frac{1}{2}$BC，
∴OD：BE=OF：EF=2：3；
设DO=2k，BE=3k，
则BC=4k，EC=k，
∵OD∥BC，
∴∠ODA=∠C，
又∠OAD=∠AEC=90°，
∴△OAD∽△EAC，
设AD=x，则AC=2k，
∴$\frac{AD}{EC}=\frac{OD}{AC}$，即$\frac{x}{k}=\frac{2k}{2x}$，
∴x=k，则AC=2x=2k，
又AB²+AC²=BC²，
即10²+（2k）²=（4k）²，
解得：k=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴DE=AD=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴tan∠BFO=tan∠DFE=$\frac{DE}{EF}$=$\frac{\frac{5\sqrt{3}}{3}}{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题考查了切线的判定，勾股定理和三角形全等的判定，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点．熟练掌握切线的判定，由勾股定理求出AD是解决问题（2）的关键．