Question

12．如图△PAB中，PA=PB，PB为⊙O的切线，B为切点，连接OP交AB于点C，延长BO与⊙O交于点D、与PA的延长线交于点E
（1）求证：PA与⊙O相切；
（2）若tan∠ABE=$\frac{1}{2}$，求sinE的值．

Answer 1

分析 （1）连接OA，根据切线的性质得到∠PAO=90°，证明△PBO≌△PAO，根据全等三角形的性质得到∠PBO=∠PAO=90°，证明结论；
（2）连接AD，设OC=x，根据正切的概念用x表示出BC、AD、OB，根据相似三角形的性质求出BE、PE，根据正弦的概念计算即可．

解答 证明：（1）连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∵OA=OB，OP⊥AB，
∴BC=CA，PB=PA，
在△PBO和△PAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{PB=PA}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△PBO≌△PAO，
∴∠PBO=∠PAO=90°，即PA与⊙O相切；
（2）连接AD，
∵tan∠ABE=$\frac{1}{2}$，
∴设OC=x，BC=CA=2x，AD=2OC=2x，OB=OD=$\sqrt{5}$x，
∵∠ABE=∠OPB，
∴tan∠OPB=$\frac{1}{2}$，
∴CP=4x，OP=x+4x=5x，
∵△ADE∽△POE，
∴DE=$\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$x，BE=$\frac{{8\sqrt{5}}}{3}$x，BP=$2\sqrt{5}$x，PE=$\frac{10\sqrt{5}}{3}$x，
∴sinE=$\frac{BP}{PE}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查的是切线的判定和性质、正切的概念、相似三角形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．