Question

7．设直线kx+（k+1）y-1=0与坐标轴所围成的直角三角形的面积为S_k，则S₁+S₂+…+S₂₀₁₇=$\frac{2017}{4036}$．

Answer 1

分析 利用一次函数图象上点的坐标特征可求出直线kx+（k+1）y-1=0与坐标轴的交点坐标，根据三角形的面积公式可得出S_k=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{k+1}$），将其代入S₁+S₂+…+S₂₀₁₇中，即可求出结论．

解答 解：当x=0时，有（k+1）y-1=0，
解得：y=$\frac{1}{k+1}$，
∴直线kx+（k+1）y-1=0与y轴交点坐标为（0，$\frac{1}{k+1}$）；
当y=0时，有kx-1=0，
解得：x=$\frac{1}{k}$，
∴直线kx+（k+1）y-1=0与x轴的交点坐标为（$\frac{1}{k}$，0）．
∴S_k=$\frac{1}{2}$$\frac{1}{k}$•$\frac{1}{k+1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{k+1}$），
∴S₁+S₂+…+S₂₀₁₇=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2017}$-$\frac{1}{2018}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2018}$）=$\frac{2017}{4036}$．
故答案为：$\frac{2017}{4036}$．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征结合三角形的面积找出S_k=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{k+1}$）是解题的关键．