Question

19．直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点A的坐标为（8，0）．
（1）求k的值；
（2）若点P（x，y）是直线在第一象限内的动点（0＜x＜8），试确定点P的坐标，使△OAP的面积为15．
（3）若点P（4，y）是直线AB上的一点，在x轴上确定一点，使得QP+BQ最短，并求出Q点的坐标．

Answer 1

分析 （1）直接把A的坐标（8，0）代入y=kx+6就可以求出k的值；
（2）根据三角形的面积公式S_△OPA=$\frac{1}{2}$OA•y，然后把y转换成x，△OPA的面积S与x的函数关系式就可以求出了，再把S=15代入的解析式里．就可以求出x，然后确定P的坐标．
（3）首先根据（1）可求得P的坐标值．再设B关于x轴的对称点为B′，连接PB′，交x轴于Q，Q点即为所求．B′点的坐标根据B点坐标不难求得．因而利用P、B的坐标求得PB′的解析式，再联立组成方程组求得Q点的坐标值．

解答 解：（1）把点A（8，0）代入y=kx+6，
得8k+6=0，解得k=-$\frac{3}{4}$；

（2）∵点P（x，y）在第一象限内的直线y=-$\frac{3}{4}$x+6上，
∴点P的坐标为（x，-$\frac{3}{4}$x+6）且x＞0，-$\frac{3}{4}$x+6＞0
如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，则△OPA的面积=$\frac{1}{2}$OA×PD
即S=$\frac{1}{2}$×8×（-$\frac{3}{4}$x+6），
∴S=-3x+24=15，
解得x=3，
把x=3代入y=-$\frac{3}{4}$x+6，得y=$\frac{15}{4}$，
这时，P有坐标为（3，$\frac{15}{4}$）；
即当P运动到点（3，$\frac{15}{4}$）这个位置时，△OPA的面积为15．

（3）∵点P（4，y）是直线AB上的一点，
∴y=-$\frac{3}{4}$×4+6=3，
即P（4，3），
设B关于x轴的对称点为B′，连接PB′，交x轴于Q，Q点即为所求，如图2．
∵由直线AB的解析式可知B（0，6），
∴B′（0，-6），设经过PB′的直线解析式为y=kx+b，于是
$\left\{\begin{array}{l}{3=4k+b}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
解得k=$\frac{9}{4}$，b=-6，
∴PB′的解析式为y=$\frac{9}{4}$x-6，
令y=0时，解得x=$\frac{24}{9}$，
即Q（$\frac{24}{9}$，0）．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象的性质，轴对称-最短路线问题，此题综合性很强，有难度，解题的关键是数形结合思想的应用．