Question

16．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，过E做EF⊥AD于F，连接BF交AE于P，连接PD．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）如果AB=4，AD=7，求tan∠ADP的值．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出∠FAB=∠ABE=90°，AF∥BE，证出四边形ABEF是矩形，再证明AB=BE，即可得出四边形ABEF是正方形；
（2）由正方形的性质得出BP=PF，BA⊥AD，∠PAF=45°，得出AB∥PH，求出DH=AD-AH=5，在Rt△PHD中，由三角函数即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCDABCD是矩形，
∴∠FAB=∠ABE=90°，AF∥BE，
∵EF⊥AD，
∴∠FAB=∠ABE=∠AFE=90°，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，AF∥BE，
∴∠FAE=∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）解：过点P作PH⊥AD于H，如图所示：
∵四边形ABEF是正方形，
∴BP=PF，BA⊥AD，∠PAF=45°，
∴AB∥PH，
∵AB=4，
∴AH=PH=2，
∵AD=7，
∴DH=AD-AH=7-2=5，
在Rt△PHD中，∠PHD=90°．
∴tan∠ADP=$\frac{PH}{HD}$=$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了矩形的性质与判定、正方形的判定与性质、平行线的性质、三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是正方形是解决问题的关键．