Question

20．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，D为BC上一点，DE⊥AB，若∠DCE=∠DEC，已知CD=$\frac{3}{2}$，BC=4
（1）求证：AC=AE；
（2）试求AB的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明AC=AE，只要证明△ADC≌△ADE即可．
（2）先在RT△DEB中求出EB，设AC=AE=x，在RT△ABC中，利用勾股定理列出方程即可解决问题．

解答 （1）证明：∵∠DCE=∠DEC，
∴DC=DE，
∵DE⊥AB，
∴∠ACD=∠DEA=90°，
在RT△ADC和RT△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DC=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ADE（HL），
∴AC=AE．
（2）解：∵CD=DE=$\frac{3}{2}$，BC=4，
∴BD=BC-CD=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
在RT△DEB中，∵∠DEB=90°，DE=$\frac{3}{2}$，DB=$\frac{5}{2}$，
∴EB=$\sqrt{B{D}^{2}-D{E}^{2}}$=2，设AC=AE=x，
在RT△ABC中，∵AB²=AC²+BC²，
∴（x+2）²=x²+4²，
∴x=3，
∴AB=AE+EB=3+2=5．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，学会转化的数学思想，用方程去思考问题，属于中考常考题型．