Question

3．如图，在△ABC中，AB=AC，射线BD上有一点P，且∠BPC=∠BAC．
（1）求证：∠APC=∠APD；
（2）若∠BAC=60°，BP=3，PA=4，求PC的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，根据A、P、B、C四点共圆得到∠APC=∠ABC，等量代换即可得到答案；
（2）在射线BP上截取PH=PA，证明△HAB≌△PAC，根据全等三角形的性质得到答案．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BPC=∠BAC，
∴A、P、B、C四点共圆，
∴∠APC=∠ABC，
∴∠APC=∠ACB，又∠APD=∠ACB，
∴∠APC=∠APD；
（2）解：在射线BP上截取PH=PA，
∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠APH=60°，又PH=PA，
∴△APH是等边三角形，
∴∠HAP=60°，AH=AP，
在△HAB和△PAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=AP}\\{∠HAB=∠PAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△HAB≌△PAC，
∴PC=BH=BP+PH=BP+PA=7．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的判定和性质是解题的关键．