Question

11．如图，△ABC内接于⊙O，D是$\widehat{BC}$的中点，点E在AD上，且DE=DB，点E是△ABC的内心吗？并说明理由．

Answer 1

分析 根据等弧所对的圆周角相等证明∠BAD=∠CAD，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质证明∠EBC=∠ABE，根据内心的概念证明结论．

解答 解：点E是△ABC的内心，
证明如下：∵D是$\widehat{BC}$的中点，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE=DB，
∴∠DBE=∠DEB，即∠DBC+∠EBC=∠BAD+∠ABE，
∵$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，∴∠DBC=∠BAD，
∴∠EBC=∠ABE，又∠BAD=∠CAD，
∴点E是△ABC的内心．

点评 本题考查的是三角形的内切圆和内心的概念和性质，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解题的关键．