Question

20．如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D在BA的延长线上，连接CD，过点C作CE⊥CD，使CE=CD，连接BE，若点N为BD的中点，连接CN、BE．
（1）求证：AB⊥BE．
（2）求证：AE=2CN．

Answer 1

分析 （1）证明△DCA与△ECB全等，再利用全等三角形的性质证明即可；
（2）延长CN至点K，使NK=CN，连接DK，利用已知条件证明△DNK≌△BNC，所以可得DK=BC=AC，∠KDC+∠DCB=180°，又因为∠DCK=∠ACE，DK=AC，CD=CE，由三角形的全等可得AE=CK，所以AE=2CN．

解答 证明：（1）∵CE⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE，
∴∠DCA=∠BCE，
在△DCA与△ECB中
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CE}\\{∠DCA=∠BCE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△DCA≌△ECB（SAS），
∴∠CDA=∠CEB，∠DAC=∠EBC=135°，
∴∠ABE=∠CBE-∠ABC=135°-45°=90°，
∴AB⊥BE；
（2）延长CN至点K，使NK=CN，连接DK，

∵∠DCA+∠ACE=90°，∠BCE+∠ACE=90°，
∴∠DCB+∠ACE=180°，
∴∠KDN=∠CBN，
∴DK∥BC，
∵在△DNK与△BNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DN=NB}\\{CN=NK}\\{∠DNK=∠BNC}\end{array}\right.$，
∴△DNK≌△BNC（SAS），
∴DK=BC=AC，
∴∠KDC+∠DCB=180°，
∵∠DCK=∠ACE，
又∵DK=AC，CD=CE，
∵△KDC≌△ACE，
∴AE=CK，
∴AE=2CN．

点评 本题综合考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点的应用，关键是考查学生能根据题意得出规律，题型较好，有一定的难度．